Египетский треугольник складыванием бумаги

Если соединить вершины квадрата с серединами сторон, не примыкающих к этим вершинам (всего восемь отрезков), то получится многоугольник в форме звезды. В этом многоугольнике можно разглядеть египетский треугольник, то есть известный прямоугольный треугольник с соотношениями сторон 3:4:5.

Из рисунка слева видно, как получить такой треугольник, складывая бумагу.

В действительности таких треугольников всего 32, по 8 каждого типа и .

Доказательство “без слов” приведено на рисунке справа. Из рисунка следует справедливость утверждения для треугольника . Для остальных треугольников доказательство в точности такое же.
А вот еще один способ получить египетский треугольник, складывая бумагу.
Прямоугольный лист бумаги складывают так, что один угол попадает в середину короткой стороны прямоугольника. Треугольники I и II равны. Известно, что длина короткой стороны листа равна 8. Найдите длину его большей стороны.

Это задача с Московской математической олимпиады 2011 г. (7 класс).

Решение этой задачи

Обозначим через и длины отрезков, как показано на рисунке:

Меньшая сторона прямоугольника равна , так что его большая сторона равна .
А вот прямоугольные треугольники I и II интересны сами по себе. У каждого и них один катет равен , а сумма второго катета и гипотенузы равна . По теореме пифагора имеем

откуда , и , получаем известный египетский треугольник со сторонами и .
Если взять прямоугольник размерами ,  то получить такой треугольник будет очень легко. Сначала нужно сложить прямоугольник так, чтобы образовался квадрат, потом разделить сгибанием этот квадрат на 4 квадрата, так что получится прямоугольник с относительными размерами :

Источники: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle.shtml
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle2.shtml