четверг, 30 мая 2013 г.

Египетский треугольник складыванием бумаги

Если соединить вершины квадрата с серединами сторон, не примыкающих к этим вершинам (всего восемь отрезков), то получится многоугольник в форме звезды. В этом многоугольнике можно разглядеть египетский треугольник, то есть известный прямоугольный треугольник с соотношениями сторон 3:4:5.
Из рисунка слева видно, как получить такой треугольник, складывая бумагу.

В действительности таких треугольников всего 32, по 8 каждого типа BFA, GFE, CDE и HDA.

Доказательство “без слов” приведено на рисунке справа. Из рисунка следует справедливость утверждения для треугольника BFA. Для остальных треугольников доказательство в точности такое же.
А вот еще один способ получить египетский треугольник, складывая бумагу.
Прямоугольный лист бумаги складывают так, что один угол попадает в середину короткой стороны прямоугольника. Треугольники I и II равны. Известно, что длина короткой стороны листа равна 8. Найдите длину его большей стороны.

Это задача с Московской математической олимпиады 2011 г. (7 класс).

Решение этой задачи
Обозначим через a и b длины отрезков, как показано на рисунке:

Меньшая сторона прямоугольника равна a+b=8, так что его большая сторона равна a+b+4=12.
А вот прямоугольные треугольники I и II интересны сами по себе. У каждого и них один катет равен 4, а сумма второго катета и гипотенузы равна 8. По теореме пифагора имеем
4^2+a^2=(8-a)^2,
откуда 16=64-4a , и a=3, получаем известный египетский треугольник со сторонами 3,4 и 5.
Если взять прямоугольник размерами 8\times12,  то получить такой треугольник будет очень легко. Сначала нужно сложить прямоугольник так, чтобы образовался квадрат, потом разделить сгибанием этот квадрат на 4 квадрата, так что получится прямоугольник с относительными размерами 2\times3:
Источники: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle.shtml
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/345Triangle2.shtml

1 комментарий:

LinkWithin

соответствующие Должности Плагин для WordPress, Blogger...