Упрощаем вычисления

Очень легко запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно:

11² = 121;

111² = 12 321;

1111² = 1 234 321

и т. д.

Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.

Умножение двузначного числа на 11

Чтобы двузначное число умножить на 11, сложите его первую и последнюю цифру. Если результат будет однозначным, впишите его между двумя цифрами первоначального числа, а если двузначным – прибавьте первую цифру результата к первой цифре первоначального числа, а вторую – впишите между цифрами.
Примеры:
45х11
Складываем 4+5=9. Поэтому результатом будет 495.
76х11
Складываем 7+6=13. Единицу прибавляем к семёрке, а тройку пишем в середину и получаем 836.
Математическое обоснование:
Пусть нужно двузначное число 10a+b. Умножить на 11. Результатом будет 110a+11b = 100a +10 (a+b) +b

Умножение и деление на 5 и 25

Чтобы число умножить число на 5, его нужно разделить на 2 и умножить на 10. Чтобы число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.
Аналогично, умножение/деление на 25 заменяется делением/умножением на 4 и умножением/делением на 100
Примеры:
36х5
Делим 36 на 2, получаем 18. Умножаем 18 на 10 и получаем 180.
3/5
Умножаем 3 на 2 и получаем 6. Делим 6 на 10 и получаем 0,6
45/25
Умножаем 45 на 4, получаем 180. Делим 180 на 100, получаем 1,8
84х25
Делим 84 на 4, получаем 21. Умножаем 21 на 100 и получаем 2100.
Математическое обоснование:
Поскольку 5=10/2, умножение/деление на 2 можно свести к более простым умножениям/делениям на 2 и 10.

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся пятёркой, нужно умножить число, полученное отбрасыванием последней пятёрки на следующее в натуральном ряду, и к результату приписать 25.
Примеры:
65²
Умножаем 6 на 7, получаем 42. Приписываем 25, получаем 4225.
115²
Умножаем 11 на 12, получаем 132. Приписываем 25, получаем 13225.
Математическое обоснование:
Возведём в квадрат число 10n+5. (10n+5)² = 100n²+100n+25 = 100n(n+1)+25, откуда и следует данное правило.

Возведение в квадрат числа, близкого к круглому

Целесообразно воспользоваться формулами квадрата суммы или разности.
Примеры:
19² = (20-1)² = 400–40+1=361
42² = (40+2)² = 1600+160+4 = 1764
Математическое обоснование:
Формула квадрата суммы: (a+b)² = a²+2ab+b²
Формула квадрата разности: (a-b)² = a²–2ab+b²

Вычитание из степени десятки

Для вычитания числа из степени десятки, нужно последнюю его цифру заменить дополнением до десяти, а остальные (включая первые виртуальные нули) – дополнениями до девяти.
Примеры:
1000-725 = (9-7)(9-2)(10-5) = 275
100000 – 1237 = 100000 – 01237 = (9-0)(9-1)(9-2)(9-3)(10-7) = 98763
Математическое обоснование:
Правило следует из алгоритма вычитания столбиком.

Прибавление числа, близкого к степени десятки

Вместо прибавления числа, состоящего из девяток и оканчивающегося на 9 (8, 7, 6 и т.д.), прибавьте следующую большую степень десятки и вычтите 1 (2, 3, 4 и.т.д)
Примеры:
125+999 = 1125-1 = 1124
6528+996 =7258-4=7254
Математическое обоснование:
Для k-значного числа 99…9 = 100..00 – 1

Упрощённые признаки делимости на 4 и 8

Обычно для проверки делимости на 4 применяется следующий признак: Если двуциферное окончание числа делится на 4, то и само число делится на 4.
Однако, использовав обобщённый признак делимости, заметим, что число 10 даёт остаток 2 при делении на 4. Поэтому переформулируем правило так: Если сумма последней цифры с удвоенной предпоследней делится на 4, то и само число делится на 4.
Аналогично для делимости на 8. Вместо проверки на делимость трёхциферного окончания, можно выполнять проверку суммы последней, удвоенной предпоследней и учетверённой третьей с конца цифры.
Примеры:
Число 1324
4+2*2=8 – делится на 4.
4+2*2+3*4=20 – не делится на 8
Число 6328
8+2*2=12 – делится на 4.
8+2*2+3*4=24 – делится на 8